obwest.ru

20.01.18
[1]
переходы:54

скачать файл
В качестве критерия оптимизации может выступать max ВП или ТП в натуральном или стоимостном выражении, min себестоимости

9


Лекция № 5

Основы моделирования экономических процессов с ис­пользованием симплексного метода линейного программирования.

  1. Требования к задачам, решаемым симплексным методом.

  2. Общая характеристика симплекс-метода.

  3. Математическая формулировка задачи

    1. Понятие базовой модели задачи линейного программирования.

    2. Состав переменных.

    3. Состав ограничений.

    4. Моделирование целевой функции.

Математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений

Для решения самых разнообразных задач оптимизации необхо­димо иметь соответствующую математическую модель. В большинстве ситуаций самые различные по содержанию задачи ока­зываются частными случаями одной задачи оптимизации.

Методы оптимизации и распределения ресурсов на основе задачи линейного программирования

Подобные методы широко применимы в экономике, производстве, транспорте, организации процессов, в обучении, руководстве персоналом и др.

Любая правильно составленная задача планирования имеет бесчисленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать? Чтобы ответить на этот вопрос, необхо­димо сформулировать задачу оптимизации, при решении которой возможна лишь одна из двух взаимоисключаемых постановок:

  1. при заданных ресурсах максимизировать получаемый результат (максимизировать выпуск продукции с заданного оборудования),

  2. при заданном результате ми­нимизировать используемые ресурсы (минимизировать количество оборудования, используемого при выпуске заданного объема продукции).

I.Требования к задачам, решаемым симплекс-методом;

  1. В задаче должен быть четко сформулирован и количественно определен показатель эффективности.

В качестве критерия оптимизации может выступать max ВП или ТП в натуральном или стоимостном выражении, min себестоимости, капиталовложений и т. д.

  1. Необходимо отобрать решающие факторы и ограничения и составить усло­вия задачи, чтобы полученная упрощенная модель не потеряла реального характера и практической ценности по сравнению с действительной моде­лью.

  2. Конкретные условия экономической задачи должны обуславливать свободу выбора варианта решения.

  3. Модель задачи должна содержать только линейные уравнения и неравен­ства, где все неизвестные имеют первую степень и не одно неизвестное не умножается и не делится на другое.

II. Общая характеристика симплекс-метода

Симплексный метод линейного программирования прост, универсален и весьма эффективен. Общая идея симплексного метода заключается в последовательном приближении к оптимальному плану (решению) путем анализа и улучшения вариантов орга­низации производства и территории.

На основе исходного варианта организации территории и производства составляется опорный план в соответствии с налагаемыми ограничениями и критерием оптимизации. Вычисляется прибыль. Затем определяется возможность улучшения плана за счет изменения организации территории и производства, составляется новый план, который тоже анализируется, улучшается и так до получения оптимального плана.

Каждое замещение предыдущего решения новым, называется итерацией или стадией последовательного приближения.

Особенности симплексного метода:

  1. Ресурсы и технико-экономические коэффициенты условий и неизвестные используются в своих единицах измерения: га, ц, чел/час и т. д.

  2. Состав ограничений выражается системой неравенств и уравнений. Все это позволяет решать более широкий круг задач и дает возможность вводить в условия задачи различные факторы, влияющие на организацию территории и производства.

3. Технолого-экономические коэффициенты матрицы - нормативные данные, которые являются а) осредненными и

в) не находятся в строгом соответствии друг с другом. Любая ошибка в вы­боре коэффициента приводит к другому результату.

4. Система неравенств, решаемая симплексным методом, не дает точного ре­шения, а дает лишь приближенное решение. Поэтому качество получаемого решения зависит от того, на сколько правильно подобраны коэффициенты и разумно составлены ограничения.

Математическая формулировка задачи

3.1 Экономико-математическая модель включает три составные части:

  1. Целевая функция.

  2. Система ограничений.

  3. Условие неотрицательности переменных.

Граничные условия показывают предельно допустимые значения искомых переменных, и в общем случае они могут быть двусторонними типа

а <= х <= b. Вместе с тем на практике достаточно часто возникают следующие частные случаи:

1) в технических, экономических и других видах расчетов искомые величины обычно являются положительными или равными нулю. В этом случае в задаче накладывается только требование не отрицательности переменных.

Ограничения обычно выражают определенные зависимости между переменными величинами, которые по своей сути могут быть теоретическими (формульными) и статистическими. Теоретические зависимости обычно справедливы при любых усло­виях и для их получения не требуется никаких дополнительных измерений. Однако на практике достаточно часто между параметрами модели нет известной функциональной зависимости. Так, например, если мы желаем оптимизировать использование общественного транспорта города в течение суток, то нам необходимо знать, как пассажиропоток распределен во времени. Естественно, что такой готовой зависимости нет, и для ее получения потребуется осуществить сбор и обработку статистических данных, чтобы получить определенную аналитическую зависимость, которая и будет тем ограничением, которое следует включить в задачу оптимизации.

Значения переменных, удовлетворяющие заданным граничным условиям и ограничениям, называют допустимым решением задачи. Иногда случается, что в задачу включаются противоре­чивые по смыслу требования, выполнить которые невозможно. Такая ситуация приводит к несовместным задачам, которые в планировании называют несбалансированными планами (когда нет и не может быть допустимых решений). Обычно же, если задача составлена правильно, то в общем случае она имеет набор до­пустимых решений. Чтобы из данного набора допустимых ре­шений лицо, принимающее решение (ЛПР), могло выбрать одно наилучшее, необходимо договориться, как и по какому признаку его найти. В дальнейшем не будет речи о правильных решениях, потому что мы просто не знаем, что это такое. Мы будем говорить только об оптимальных решениях (от лат. optimus — наилучший): Заметим, что наилучшего решения во всех смыслах быть не может, оно может быть наилучшим (оптимальным) только в одном, строго установленном смысле. ЛПР должно аб­солютно точно представлять, в чем заключается оптимальность принимаемого решения, т. е. по какому критерию (от гр. kriterion — мерило, оценка, средство для суждения) принимае­мое решение должно быть оптимально.

Критерий часто называют целевой функцией, функцией це­ли, а в математических работах— функционалом. Критерий в общем случае может оценивать качественные свойства объекта, причем как желательные для субъекта (обычно с максимальным уровнем или значением, например, прибыль, производитель­ность, надежность), так и нежелательные для него (или мини­мальные — непроизводительные затраты, расход материала, простои оборудования и др.). Если при принятии решения тре­буется максимизировать какое-то свойство (к примеру, прибыль, производительность или надежность), то в результате решения задачи критерий будет иметь наибольшее значение из всех до­пустимых решений. Если же требуется минимизировать крите­рий (стоимость, расход материала, время простоев оборудова­ния), то в результате решения критерий будет иметь наимень­шее значение из всех допустимых.

В общем случае математическая модель задачи распределе­ния ресурсов с числом переменных п и ограничений т имеет следующий вид:

Запись целевой функции:

1. число переменных,

Запись условий модели:

2., -число ограничений, , M - множество ресурсов i-го вида.

Неотрицательность переменных

  1. ;

где сj, — коэффициенты в целевой функции; аij норма расхода (i-го ресурса для выпуска единицы j-й продукции; bi, —имеющийся ресурс.

Запись экономико-математической модели в расширенном виде:

1.

2.

……………………………………..

……………………………………..

3.

Результаты решения задач на ЭВМ позволяют промоделировать возможные ситуации и определить, сколько и какие ресурсы требуются и каким станет план, если полностью изыскать необходимые дополнительные ресурсы. Конечно, ЭВМ не может заменить недостающие ресурсы, но она позволяет при составлении полной и корректно сформулированной математи­ческой модели показать, что необходимо осуществить, чтобы выполнить несбалансированный план. Польза от такого анализа несомненна в любых ситуациях.

В общем преодолеть несбалансированность производствен­ного плана можно или увеличением ресурсов, либо путем уменьшения нижнего предела выпуска про­дукции, или сокращения норм расходов каждого ресурса на вы­пуск единицы продукции.


Задача, содержащая один из видов ограничений (либо <, либо >), называется стандартной, при наличии всех типов ограничений (>, <, =) - задача общая.

    1. Состав переменных - основные, дополнительные и вспомогательные.

Основные переменные - отражают элементы организации территории и производства. Обозначаются через xj, где x - наименование отрасли, ее размер, j - количественный показатель, отражающий количество отрас­лей или элементов организации территории, например;

  1. Отрасли растениеводства: площади отдельных с/х угодий; площади сево­оборотов, площади посевов по видам с.х. культур, ед. измерения га, производство продукции (ц).

  2. Отрасли животноводства: поголовье скота (КРС, свиней, овец), птицы, лошадей.

Производство молока, мяса КРС, свиней, шерсти, яйца, мед и т. д. (ц).

К дополнительным переменным относятся способы пополнения производственных ресурсов

  • размеры трансформации и улучшения угодий (год);

  • количество привлекаемых трудовых ресурсов (чел.час) в напряженные периоды полевых работ;

  • количество приобретаемых органических удобрений, комбикормов;

  • потребность в минеральных удобрениях азотных, фосфатных, калийных;

  • общие текущие производственные затраты и т. д.

Например, количество и виды продукции, реализуемой сверх договора по­ставок.

Вспомогательные переменные: играют вспомогательную роль при форми­ровании экономических условий и используются в процессе решения.

Основные признаки, по которым могут отличаться переменные:

  • от степени детализации.;

  • для выделения отрасли или ее части в отдельную самостоятельную переменную величину необходимо, чтобы она отличалась от другой отрасли хотя бы одним следующим признаком:

а) видом основной конечной продукции;

б) назначение использования продукции;

зерно


о

солома

з. пшеница



в) технологией производства (срок посева)

г) уровнем затрат на производство единицы продукции

д) ценой единицы продукции (в зависимости от качества)

3.3 Состав ограничений - основные, дополнительные и вспомогательные

Основные ограничения накладываются на все или большинство перемен­ных задач и выражают условия задачи, определяющие экономический процесс или процесс производства (т.е. экономическую сущность проектного реше­ния).

К ним относятся - ресурсные ограничения - ограничения по использованию:

- земельных ресурсов (пашня, сенокосы, пастбища, сады, виноградники, мно­голетние насаждения, ягодники);

  • трудовых ресурсов;

  • денежно-материальных и др. видов ресурсов;

  • баланс кормов;

  • по использованию технических средств;

  • по капиталовложениям;

  • по объемам производства продукции

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные группы пере­менных, когда необходимо ограничить сверху или снизу размеры отдельных отраслей, например, с учетом плана продажи продукции по договорам, с учетом севооборотных требований и т. д.

Вспомогательные ограничения - самостоятельного значения не имеют и вво­дятся в задачу для формализации отдельных условий, т.е. для обеспечения разработки модели. Например, ограничения, устанавливающие пропорцио­нальную связь между отдельными переменными или их группами.

3.4. Моделирование целевой функции.

В качестве критерия оптимизации могут выступать экономические пока­затели, отражающие результативность производства в стоимостном или нату­ральном выражении.

При решении задач на max в качестве критериев может выступать валовая и товарная продукция (ВП и ТП), чистый доход (ЧД), ВД (валовой доход), прибыль и др.

На min - себестоимость, затраты на производство продукции, капиталь­ные затраты и др.

  1. Стоимость валовой продукции

- стоимость единицы продукции, полученной с 1 га j-ой культуры или с од­ной головы j-го вида скота.

-объемы производимой продукции, площади посева культур, поголовье различных видов скота.

Зj - закупочная цена; уj - урожайность с.-х. Культур или продуктивность животных

  1. Чистый доход.

;

q - чистый доход, - стоимость единицы продукции j-ой отрасли,

- себестоимость единицы продукции j-ой отрасли.

  1. Валовой доход.

- стоимость валовой продукции, получаемой с единицы отрасли;

- производственные затраты.

  1. Критерий оптимизации - минимум площади пашни, необходимой для ор­ганизации зеленого конвейера

- валовой сбор зеленого корма от i-ой культуры в j-ый месяц пастбищного периода.

- урожайность i-ой культуры в j-ый месяц пастбищного периода.


скачать файл | источник
просмотреть